Linia prosta lub prosta – jedno z podstawowych pojęć geometrii, szczególny przypadek nieograniczonej z obydwu stron krzywej o nieskończonym promieniu krzywizny w każdym punkcie[1].nocny said:
W niektórych ujęciach, w tym w klasycznej geometrii euklidesowej, prosta jest tzw. pojęciem pierwotnym, niedefiniowanym formalnie w obrębie danej teorii. Można ją jednak interpretować za pomocą pojęć wykraczających poza geometrię, np. jako zbiór punktów o współrzędnych spełniających pewne równanie. Ten temat szerzej omówiony jest w artykule dotyczącym geometrii euklidesowej.
W matematyce rozważane są także inne geometrie, takie jak geometria powierzchni kuli[2]. Pojęcie prostej można uogólnić także na tzw. geometrie nieeuklidesowe[3]. Odpowiednikiem prostych są wówczas tzw. linie geodezyjne, czyli krzywe określające lokalnie najkrótsze drogi między punktami[4]. Według najogólniejszej definicji zatem:
Prosta (geodezyjna) to nieposiadająca zakończeń krzywa o jednej gałęzi i zerowej krzywiźnie geodezyjnej w każdym punkcie (czyli zerowej pochodnej kowariantnej dla kierunku tej krzywej w każdym punkcie)[5]
W pewnym więc sensie proste w dowolnych przestrzeniach nadal są liniami niezakrzywionymi.
Geometria euklidesowa
Linia prosta w sensie potocznym różni się od tego, co pod tym pojęciem określa się w matematyce. Potocznie „prosta” oznacza „niezakrzywiona”. W geometrii euklidesowej „prosta” albo „linia prosta”, oprócz tego, że nie jest zakrzywiona, musi rozciągać się nieograniczenie w obydwie strony i mieć zerową „grubość”.
Jeśli niezakrzywiona linia o zerowej grubości rozciąga się nieograniczenie tylko w jedną stronę, a z drugiej strony ma zakończenie, to jest nazywana „półprostą”. Jeśli posiada zakończenia z obydwu stron, to nazywana jest „odcinkiem”.
Definicja Euklidesa
Nazwa geometrii euklidesowej pochodzi od greckiego matematyka Euklidesa, który w III w. p.n.e. w swoim dziele Elementy po raz pierwszy zebrał i systematycznie udowodnił większość znanych podówczas twierdzeń geometrycznych.
Euklides w Elementach podał 23 definicje różnych pojęć geometrycznych w tym punktu, linii (krzywej), prostej, kąta. Prostą definiował tak:
linia jest długością bez szerokości[6]
linia jest prosta, jeśli jest położona między swoimi punktami w równym i jednostajnym kierunku[7]
Definicja ta z punktu widzenia dzisiejszej matematyki pasuje raczej do odcinka niż do prostej, gdyż ta nie leży „między swoimi punktami”, lecz jest nieograniczona. Euklides odróżniał jednak proste od odcinków, pisząc o „liniach przedłużanych w nieskończoność”, np.
„Linie równoległe są to proste, które leżą na tej samej płaszczyźnie i przedłużone z obu stron w nieskończoność, z żadnej strony nie przetną się”[8].
Było to spowodowane próbą ominięcia trudności związanych z nieskończonością aktualną (prosta jako całość jest „nieskończona”) poprzez wyrażenie jej jako nieskończoność potencjalną (możliwość nieograniczonego przedłużania odcinka).
Własności
Przez dwa nieidentyczne punkty przestrzeni przechodzi tylko jedna prosta.
Prosta przechodząca przez dwa różne punkty płaszczyzny zawiera się w tej płaszczyźnie.
Prosta na płaszczyźnie jest zbiorem punktów jednakowo oddalonych od dwóch ustalonych punktów.
Każdy punkt płaszczyzny lub przestrzeni należy do nieskończenie wielu prostych. Ich zbiór zwany jest pękiem prostych.
Każda prosta dzieli płaszczyznę, w której się zawiera, na dwa obszary (półpłaszczyzny) i jest brzegiem każdego z nich.
Każdy punkt na prostej dzieli ją na dwie części zwane półprostymi.
Najkrótsza[9] droga pomiędzy dwoma dowolnymi punktami prowadzi po prostej.
Prosta jest częścią wspólną dowolnych dwóch nierównoległych płaszczyzn (zob. rysunek).
Promień krzywizny (dla większej liczby wymiarów – wszystkie promienie krzywizny) w każdym jej punkcie jest nieskończony.
Proste są jedynymi krzywymi gładkimi o zerowej krzywiźnie w każdym punkcie.
Każda prosta ma nieskończoną liczbę osi symetrii. Osią taką jest ona sama oraz każda prosta prostopadła do niej.
Niektóre ważne proste
asymptota – prosta, do której dąży dana krzywa (w szczególności wykres funkcji)
oś liczbowa – prosta z liczbą przyporządkowaną każdemu swojemu punktowi, używana np. jako oś współrzędnych
oś obrotu – prosta, wokół której obraca się dane ciało, albo względem której dokonujemy obrotu matematycznej bryły
oś symetrii – prosta, względem której można odbić daną figurę i otrzymać figurę identyczną
prosta Eulera
prosta potęgowa – zbiór punktów, które mają równe potęgi względem dwóch różnych okręgów
prosta Simsona
sieczna – prosta przecinająca daną krzywą w co najmniej dwóch punktach
styczna – potocznie i nieściśle: prosta "równoległa" do krzywej w danym punkcie i przechodząca przez ten punkt
normalna – prosta prostopadła do stycznej w danym punkcie krzywej
symetralna odcinka – prosta dzieląca odcinek na dwie równe części i prostopadła do niego
środkowa – prosta łącząca wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego jego boku
prosta Cevy – prosta przechodząca przez wierzchołek trójkąta i przeciwległy bok
Prosta na płaszczyźnie (afinicznej)
Prosta jest jednowymiarową podprzestrzenią afiniczną płaszczyzny dwuwymiarowej (i ogólniej, każdej n-wymiarowej kartezjańskiej przestrzeni współrzędnych).
Jeśli dany jest punkt B\; i niezerowy wektor \overrightarrow\alpha\;, to prostą generowaną przez wektor \overrightarrow\alpha\; i przechodzącą przez punkt B\; nazywamy zbiór punktów P\; dla których istnieje liczba rzeczywista t\; taka, że
\overrightarrow{BP}=t\overrightarrow\alpha.
Wektor \overrightarrow\alpha\; nazywamy wektorem kierunkowym prostej.
Najmniejszą[10] podprzestrzenią afiniczną zawierającą dwa różne punkty P,Q\; jest prosta, która przez nie przechodzi. Prostą tę oznaczamy \mbox{af}(P,Q)\;.
Prostą można określić jako zbiór punktów spełniających pewne równanie liniowe. Równanie to można zapisać w różny sposób. Kilka typowych zapisów podano poniżej.
Równanie ogólne
W przestrzeni kartezjańskiej dwuwymiarowej, każda prosta może być zdefiniowana w następujący sposób:
Dla pewnych liczb rzeczywistych A, B, C\;, przy czym A\; i B\; nie są jednocześnie równe zeru, prosta to zbiór punktów, których współrzędne spełniają zależność:
Ax + By + C = 0\;.
Równanie to nazywamy równaniem ogólnym prostej. Wektor o współrzędnych [-B,A]\; jest wektorem kierunkowym prostej. Jest on do tej prostej równoległy. Wektor [A,B]\; jest prostopadły do prostej. Jeśli A = 0\;, to prosta jest równoległa do osi Ox\;, jeśli B = 0\; – do osi Oy\;, jeśli C=0\;, przechodzi przez początek układu współrzędnych.
Współczynniki A\; i B\; nie mogą równocześnie być równe zeru, gdyż wtedy równanie nie opisuje prostej, lecz dla C = 0\; całą płaszczyznę, a dla C \neq 0\; zbiór pusty (nie ma rozwiązań).
Jedna prosta może mieć wiele różnych równań ogólnych, odpowiadających różnym równoległym wektorom kierunkowym. Współczynniki tych równań spełniają wtedy zależność:
\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}
lub, jeśli któryś z mianowników jest zerem, odpowiadający mu licznik także jest zerem.
W matematyce rozważane są także inne geometrie, takie jak geometria powierzchni kuli[2]. Pojęcie prostej można uogólnić także na tzw. geometrie nieeuklidesowe[3]. Odpowiednikiem prostych są wówczas tzw. linie geodezyjne, czyli krzywe określające lokalnie najkrótsze drogi między punktami[4]. Według najogólniejszej definicji zatem:
Prosta (geodezyjna) to nieposiadająca zakończeń krzywa o jednej gałęzi i zerowej krzywiźnie geodezyjnej w każdym punkcie (czyli zerowej pochodnej kowariantnej dla kierunku tej krzywej w każdym punkcie)[5]
W pewnym więc sensie proste w dowolnych przestrzeniach nadal są liniami niezakrzywionymi.
Geometria euklidesowa
Linia prosta w sensie potocznym różni się od tego, co pod tym pojęciem określa się w matematyce. Potocznie „prosta” oznacza „niezakrzywiona”. W geometrii euklidesowej „prosta” albo „linia prosta”, oprócz tego, że nie jest zakrzywiona, musi rozciągać się nieograniczenie w obydwie strony i mieć zerową „grubość”.
Jeśli niezakrzywiona linia o zerowej grubości rozciąga się nieograniczenie tylko w jedną stronę, a z drugiej strony ma zakończenie, to jest nazywana „półprostą”. Jeśli posiada zakończenia z obydwu stron, to nazywana jest „odcinkiem”.
Definicja Euklidesa
Nazwa geometrii euklidesowej pochodzi od greckiego matematyka Euklidesa, który w III w. p.n.e. w swoim dziele Elementy po raz pierwszy zebrał i systematycznie udowodnił większość znanych podówczas twierdzeń geometrycznych.
Euklides w Elementach podał 23 definicje różnych pojęć geometrycznych w tym punktu, linii (krzywej), prostej, kąta. Prostą definiował tak:
linia jest długością bez szerokości[6]
linia jest prosta, jeśli jest położona między swoimi punktami w równym i jednostajnym kierunku[7]
Definicja ta z punktu widzenia dzisiejszej matematyki pasuje raczej do odcinka niż do prostej, gdyż ta nie leży „między swoimi punktami”, lecz jest nieograniczona. Euklides odróżniał jednak proste od odcinków, pisząc o „liniach przedłużanych w nieskończoność”, np.
„Linie równoległe są to proste, które leżą na tej samej płaszczyźnie i przedłużone z obu stron w nieskończoność, z żadnej strony nie przetną się”[8].
Było to spowodowane próbą ominięcia trudności związanych z nieskończonością aktualną (prosta jako całość jest „nieskończona”) poprzez wyrażenie jej jako nieskończoność potencjalną (możliwość nieograniczonego przedłużania odcinka).
Własności
Przez dwa nieidentyczne punkty przestrzeni przechodzi tylko jedna prosta.
Prosta przechodząca przez dwa różne punkty płaszczyzny zawiera się w tej płaszczyźnie.
Prosta na płaszczyźnie jest zbiorem punktów jednakowo oddalonych od dwóch ustalonych punktów.
Każdy punkt płaszczyzny lub przestrzeni należy do nieskończenie wielu prostych. Ich zbiór zwany jest pękiem prostych.
Każda prosta dzieli płaszczyznę, w której się zawiera, na dwa obszary (półpłaszczyzny) i jest brzegiem każdego z nich.
Każdy punkt na prostej dzieli ją na dwie części zwane półprostymi.
Najkrótsza[9] droga pomiędzy dwoma dowolnymi punktami prowadzi po prostej.
Prosta jest częścią wspólną dowolnych dwóch nierównoległych płaszczyzn (zob. rysunek).
Promień krzywizny (dla większej liczby wymiarów – wszystkie promienie krzywizny) w każdym jej punkcie jest nieskończony.
Proste są jedynymi krzywymi gładkimi o zerowej krzywiźnie w każdym punkcie.
Każda prosta ma nieskończoną liczbę osi symetrii. Osią taką jest ona sama oraz każda prosta prostopadła do niej.
Niektóre ważne proste
asymptota – prosta, do której dąży dana krzywa (w szczególności wykres funkcji)
oś liczbowa – prosta z liczbą przyporządkowaną każdemu swojemu punktowi, używana np. jako oś współrzędnych
oś obrotu – prosta, wokół której obraca się dane ciało, albo względem której dokonujemy obrotu matematycznej bryły
oś symetrii – prosta, względem której można odbić daną figurę i otrzymać figurę identyczną
prosta Eulera
prosta potęgowa – zbiór punktów, które mają równe potęgi względem dwóch różnych okręgów
prosta Simsona
sieczna – prosta przecinająca daną krzywą w co najmniej dwóch punktach
styczna – potocznie i nieściśle: prosta "równoległa" do krzywej w danym punkcie i przechodząca przez ten punkt
normalna – prosta prostopadła do stycznej w danym punkcie krzywej
symetralna odcinka – prosta dzieląca odcinek na dwie równe części i prostopadła do niego
środkowa – prosta łącząca wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego jego boku
prosta Cevy – prosta przechodząca przez wierzchołek trójkąta i przeciwległy bok
Prosta na płaszczyźnie (afinicznej)
Prosta jest jednowymiarową podprzestrzenią afiniczną płaszczyzny dwuwymiarowej (i ogólniej, każdej n-wymiarowej kartezjańskiej przestrzeni współrzędnych).
Jeśli dany jest punkt B\; i niezerowy wektor \overrightarrow\alpha\;, to prostą generowaną przez wektor \overrightarrow\alpha\; i przechodzącą przez punkt B\; nazywamy zbiór punktów P\; dla których istnieje liczba rzeczywista t\; taka, że
\overrightarrow{BP}=t\overrightarrow\alpha.
Wektor \overrightarrow\alpha\; nazywamy wektorem kierunkowym prostej.
Najmniejszą[10] podprzestrzenią afiniczną zawierającą dwa różne punkty P,Q\; jest prosta, która przez nie przechodzi. Prostą tę oznaczamy \mbox{af}(P,Q)\;.
Prostą można określić jako zbiór punktów spełniających pewne równanie liniowe. Równanie to można zapisać w różny sposób. Kilka typowych zapisów podano poniżej.
Równanie ogólne
W przestrzeni kartezjańskiej dwuwymiarowej, każda prosta może być zdefiniowana w następujący sposób:
Dla pewnych liczb rzeczywistych A, B, C\;, przy czym A\; i B\; nie są jednocześnie równe zeru, prosta to zbiór punktów, których współrzędne spełniają zależność:
Ax + By + C = 0\;.
Równanie to nazywamy równaniem ogólnym prostej. Wektor o współrzędnych [-B,A]\; jest wektorem kierunkowym prostej. Jest on do tej prostej równoległy. Wektor [A,B]\; jest prostopadły do prostej. Jeśli A = 0\;, to prosta jest równoległa do osi Ox\;, jeśli B = 0\; – do osi Oy\;, jeśli C=0\;, przechodzi przez początek układu współrzędnych.
Współczynniki A\; i B\; nie mogą równocześnie być równe zeru, gdyż wtedy równanie nie opisuje prostej, lecz dla C = 0\; całą płaszczyznę, a dla C \neq 0\; zbiór pusty (nie ma rozwiązań).
Jedna prosta może mieć wiele różnych równań ogólnych, odpowiadających różnym równoległym wektorom kierunkowym. Współczynniki tych równań spełniają wtedy zależność:
\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}
lub, jeśli któryś z mianowników jest zerem, odpowiadający mu licznik także jest zerem.
/>/>/>/>
